Question

22.已知常數(shù)a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），經(jīng)過原點(diǎn)O以c+λi為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)

A（0，a），以i－2λc為方向向量的直線相交于點(diǎn)P.其中λ∈R.試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

22.解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程.據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值.

∵i=（1，0），c=（0，a），

∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）.

因此，直線OP和AP的方程分別為λy=ax和y－a=－2λax.

消去參數(shù)λ，得點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足方程y（y－a）=－2a²x²，

整理得+=1                               ①

 

因?yàn)?I>a＞0，所以得：

（�。┊�(dāng)a=時(shí)，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F；

（ⅱ）當(dāng)0＜a＜時(shí)，方程①表示橢圓，焦點(diǎn)E（，）和F（－，）為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)；

（ⅲ）當(dāng)a＞時(shí)，方程①也表示橢圓，

焦點(diǎn)E（0，（a+））和F（0，（a－））為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).