Question

15．已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S₄，S₂，S₃成等差數(shù)列，且a₂+a₃+a₄=-18．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)n，使得S_n≥2015？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接由題意列方程組求出數(shù)列的首項(xiàng)和公比，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求；
（2）求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，由S_n≥2015，求得滿足條件的n的值，則n的集合可求．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{2}-{S}_{4}={S}_{3}-{S}_{2}}\\{{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}=-18}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-{a}_{1}{q}^{2}-{a}_{1}{q}^{3}={a}_{1}{q}^{2}}\\{{a}_{1}q（1+q+{q}^{2}）=-18}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{q=-2}\end{array}\right.$．
故an=3×（-2）n-1；
（2）S_n=$\frac{3[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$=1-（-2）ⁿ．
令S_n≥2015，即1-（-2）ⁿ≥2015，
也就是（-2）ⁿ≤-2014．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，上式不成立；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由-2ⁿ≤-2014，得2ⁿ≥2014，
∴n≥11．
綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，
且所有這樣的n的集合為{n|n=2k+1，k∈N^*，k≥5}．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了數(shù)列不等式的解法，是中檔題．