Question

13．已知向量$\overrightarrow m=（{cosA，sinB}），\overrightarrow n=（{cosB，-sinA}）$，$\overrightarrow m•\overrightarrow n=-cos2C$，且A，B，C分別為△ABC的三邊a，b，c所對的角．
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）若a+b=2c，且△ABC的面積為$15\sqrt{3}$，求c邊的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算法則及兩角和的余弦函數(shù)公式化簡，得到-cos2C等于-cosC，化簡后即可求出cosC的值，根據(jù)C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（Ⅱ）利用已知及三角形面積公式可求ab=60，結(jié)合已知利用余弦定理即可解得c的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（I）∵$\overrightarrow m•\overrightarrow n=-cos2C$=cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=-cosC，
∴-cos2C=-cosC，整理可得：2cos²C-cosC-1=0，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$或1，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{2π}{3}$…6分
（Ⅱ）S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$absin$\frac{2π}{3}$=15$\sqrt{3}$，
∴ab=60，a+b=2c，
∵c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab（1+cosC）=20，
∴解得：c=2$\sqrt{5}$…12分

點評 本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的運算，兩角和的余弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值，三角形面積公式，余弦定理等知識在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．