Question

17．某高校在上學(xué)期依次舉行了“法律、環(huán)保、交通”三次知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，要求每位同學(xué)至少參加一次活動(dòng)．該高校2014級(jí)某班50名學(xué)生在上學(xué)期參加該項(xiàng)活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示．
（1）從該班中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動(dòng)次數(shù)不相等的概率．
（2）從該班中任意選兩名學(xué)生，用ξ表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．
（3）從該班中任意選兩名學(xué)生，用η表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之和，記“函數(shù)f（x）=x²-ηx-1在區(qū)間（3，5）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件A，求事件A發(fā)生的概率．

Answer 1

分析 （ 1）由圖可知，參加活動(dòng)1次、2次和3次的學(xué)生人數(shù)分別為5、25和20．由此能求出從該班中任選兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率，繼而求出不等的概率；．
（2）從該班中任選兩名學(xué)生，用ξ表示這兩學(xué)生參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，則ξ的可能取值分別為：0，1，2由此能求出ξ的分布列和ξ的數(shù)學(xué)期望；
（3）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定理，可得f（3）?f（5）＜0，求出η的值，再根據(jù)古典概率求出事件A發(fā)生的概率．

解答 解：（1）從該班任取兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)的次數(shù)恰好相等的概率：
P=$\frac{{C}_{5}^{2}+{C}_{25}^{2}+{C}_{20}^{2}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{20}{49}$，故P=1-$\frac{20}{49}$=$\frac{29}{49}$．
（2）從該班中任選兩名學(xué)生，用ξ表示這兩學(xué)生參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，則ξ的可能取值分別為：0，1，2，
于是P（ξ=0）=$\frac{20}{49}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{25}^{1}+{C}_{20}^{1}{C}_{25}^{1}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{25}{49}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{20}^{1}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{4}{49}$，從而ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{20}{49}$	$\frac{25}{49}$	$\frac{4}{49}$

Eξ=0×$\frac{20}{49}$+1×$\frac{25}{49}$+2×$\frac{4}{49}$=$\frac{33}{49}$．
（3）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x²-ηx-1 在區(qū)間（3，5）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則
f（3）?f（5）＜0，即：（8-3η）（24-5η）＜0，
∴$\frac{8}{3}$＜η＜$\frac{24}{5}$，
又由于η的取值分別為：2，3，4，5，6，故η=3或4，
故所求的概率為：P（A）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{25}^{1}+{C}_{20}^{1}{C}_{5}^{1}+{C}_{25}^{2}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{3}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，考查學(xué)生探究研究問題的能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，理解古典概型的特征：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，體現(xiàn)了化歸的重要思想．