Question

12．若（ax+2b）⁶的展開式中x²與x³的系數(shù)之比為3：4，其中a＞0，b≠0
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求（ax+2b）⁶的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）令$F（a，b）=\frac{{{b^3}+16}}{a}$，求F（a，b）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用通項(xiàng)公式求得含x²的項(xiàng)和含x³的項(xiàng)，再根據(jù)展開式中x²與x³的系數(shù)之比為3：4，求得a=2b，再結(jié)合a=1求得展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求得F（b）的單調(diào)區(qū)間，再利用函數(shù)的單調(diào)性求得F（a，b）的最小值．

解答 解：（1）展開式中含x²的項(xiàng)為：240a²b⁴x²；展開式中含x³的項(xiàng)為：160a³b³x³，
結(jié)合題意可得：$\frac{{240{a^2}{b^4}}}{{160{a^3}{b^3}}}=\frac{3b}{2a}=\frac{3}{4}，a=2b$ 
當(dāng)a=1時(shí)，（ax+2b）⁶的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為${T_4}=C_6^3{x^3}=20{x^3}$．
（2）由a=2b，$F（b）=\frac{{{b^3}+16}}{2b}=\frac{b^2}{2}+\frac{8}$，∴${F^'}（b）=b-\frac{8}{b^2}$．
當(dāng)b∈（0，2）時(shí)，F(xiàn)′（b）＜0； 當(dāng)b∈（2，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（b）＞0，
所以  $F（b）=\frac{{{b^3}+16}}{2b}=\frac{b^2}{2}+\frac{8}$在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
得F（a，b）的最小值為F_min=F（2）=6，此時(shí)a=4，b=2．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．