Question

【題目】已知函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)

（1）若，求的最小值；

（2）記f（x）的圖象在處的切線的縱截距為，求的極值；

（3）若有2個(gè)零點(diǎn)，求證：．

Answer 1

【答案】（1）2（2）極大值1，無(wú)極小值．（3）見(jiàn)解析

【解析】

(1)利用基本不等式求解即可.

(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得的圖象在處的切線方程,進(jìn)而求得截距,再求導(dǎo)分析單調(diào)性與極值即可.

(3)討論單調(diào)性可得,再設(shè),再根據(jù)零點(diǎn)可知,,繼而化簡(jiǎn)可得,.將原不等式轉(zhuǎn)換為證明,再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)分析單調(diào)性與最小值證明即可.

（1）因?yàn)?/span>,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以的最小值為2.

（2）因?yàn)?/span>,所以.

因?yàn)?/span>,

所以的圖象在處的切線方程為

.

令,得,

所以,

所以當(dāng)時(shí),,故單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),.故單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時(shí),h（t）取到極大值,為1,無(wú)極小值.

（3）因?yàn)?/span>,

所以當(dāng)時(shí),,故單調(diào)遞增,

所以至多有1個(gè)零點(diǎn),故.

因?yàn)?/span>,

所以,故.

因?yàn)?/span>,所以.

設(shè).

因?yàn)?/span>,,

兩式相除得,

所以,

解得,.

要證,

即證,

即證,

即證.

設(shè),

則

故單調(diào)遞增,

所以,

因此原命題得證.