Question

8．已知方程x²+y²+x-6y+m=0
（1）若此方程表示的曲線是圓C，求m的取值范圍；
（2）若（1）中的圓C與直線x+2y-3=0相交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ（O為原點(diǎn)），求圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）把方程x²+y²+x-6y+m=0化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-3）²=$\frac{37}{4}$-m，故有$\frac{37}{4}$-m＞0，由此解得m的范圍．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．OP⊥OQ，故 x₁•x₂+y₁•y₂=0 ①，把直線x+2y-3=0代入圓的方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得y₁+y₂=4，y₁•y₂=$\frac{12+m}{5}$，代入①求得m的值，即可得到圓C的方程．

解答 解：（1）方程x²+y²+x-6y+m=0即（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-3）²=$\frac{37}{4}$-m，
∵方程表示的曲線是圓C，
∴$\frac{37}{4}$-m＞0，解得m＜$\frac{37}{4}$．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．∵OP⊥OQ，故 x₁•x₂+y₁•y₂=0  ①．
直線x+2y-3=0與圓C聯(lián)立得5y²-20y+12+m=0，∴y₁+y₂=4，y₁•y₂=$\frac{12+m}{5}$．
∴x₁•x₂=（3-2y₁）（3-2y₂）=9-6（y₁+y₂）+4y₁•y₂．
代入①可得5y₁•y₂-6（y₁+y₂）+9=0，解得m=3，滿足△＞0．
圓C的方程為：（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-3）²=$\frac{25}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二元二次方程表示圓的條件，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的位置關(guān)系以及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．