Question

4．在半徑為10dm，圓心角為變量2θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）的扇形OAB內(nèi)作內(nèi)切圓P，再在扇形內(nèi)作一個與扇形兩半徑相切并與圓P外切的小圓Q，當(dāng)圓Q的面積取得最大值時，sinθ的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 設(shè)圓q半徑為x，圓p半徑為y，則由三角形相似可得$\frac{x}{y}=\frac{10-x-2y}{10-y}$，求出x，利用配方法，求圓q半徑的最大值，即可求出sinθ的值．

解答 解：設(shè)圓Q半徑為x，圓P半徑為y，則
由三角形相似可得$\frac{x}{y}=\frac{10-x-2y}{10-y}$，
∴x=-$\frac{1}{5}$y²+y=-$\frac{1}{5}$（y-$\frac{5}{2}$^）2+$\frac{5}{4}$，
∴y=$\frac{5}{2}$時，圓Q半徑的最大值為$\frac{5}{4}$，
∴OQ=$\frac{15}{4}$，
∴sinθ=$\frac{1}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查扇形OAB內(nèi)做一內(nèi)切圓，考查三角形相似，考查配方法的運(yùn)用，屬于中檔題．