Question

如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G為線段PC上的點(diǎn).

(1)證明:BD⊥平面APC;

(2)若G為PC的中點(diǎn),求DG與平面APC所成的角的正切值;

(3)若G滿足PC⊥平面BGD,求的值.

Answer 1

 (1)證明:設(shè)點(diǎn)O為AC,BD的交點(diǎn).

由AB=BC,AD=CD,得BD是線段AC的中垂線,

所以O(shè)為AC的中點(diǎn),BD⊥AC.

又因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,

所以PA⊥BD,所以BD⊥平面APC.

(2)解:連接OG.

由(1)可知,OD⊥平面APC,

則DG在平面APC內(nèi)的射影為OG,

所以∠OGD是DG與平面APC所成的角.

由題意得OG=PA=.

在△ABC中,

AC=

=

=2,

所以O(shè)C=AC=.

在直角△OCD中,OD===2.

在直角△OGD中,tan∠OGD==.

所以DG與平面APC所成的角的正切值為.

(3)解:因?yàn)镻C⊥平面BGD,OG⊂平面BGD,

所以PC⊥OG.

在直角△PAC中,PC===,

所以GC===.

從而PG=,

所以=.