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(22)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=an+(n=1,2,…).

(Ⅰ)證明:an＞對一切正整數(shù)n成立；

(Ⅱ)令bn＞(n=1,2,…)，判定bn與bn+1的大小，并說明理由.

(22) (Ⅰ)證法一: 當n=1時,a1=2＞Equation.3,不等式成立.

假設(shè)n=k時,ak＞Equation.3成立,

當n=k+1時,

ak+12=ak2+Equation.3+2＞2k+3+Equation.3>2(k+1)+1,

∴n=k+1時,ak+1＞Equation.3時成立.

綜上由數(shù)學歸納法可知,an＞Equation.3對一切正整數(shù)成立.

證法二:當n=1時,a1=2＞Equation.3=Equation.3,結(jié)論成立.

假設(shè)n=k時結(jié)論成立,即ak＞Equation.3,

當n=k+1時,由函數(shù)f(x)=x+Equation.3(x＞1)的單調(diào)遞增性和歸納假設(shè)有

ak+1=ak+Equation.3＞Equation.3+Equation.3.

因此只需證Equation.3+Equation.3≥Equation.3.

而這等價于(Equation.3+Equation.3)2≥2k+3

Equation.3≥0,顯然成立.

所以當n=k+1時,結(jié)論成立.

因此,an>Equation.3對一切正整數(shù)n均成立.

證法三:由遞推公式得

an2=an－12+2+Equation.3,

an－12=an－22+2+Equation.3,

……

a22=a12+2+Equation.3.

上述各式相加并化簡得

an2=a12+2(n－1)+ Equation.3+…+Equation.3＞22+2(n－1)

=2n+2＞2n+1(n≥2).

又n=1時,an>Equation.3明顯成立,

故an＞Equation.3(n=1,2,…).

 

 

   

故bn+1＜bn.

 

 

  

所以bn+1＜bn.

 

 


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn=2an-2n+1 （n∈N*）．
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（Ⅱ）設(shè)bn=log
an
n+1
2，數(shù)列{bn}的前n項和為Bn，若存在整數(shù)m，使對任意n∈N*且n≥2，都有B3n-Bn＞
m
20
成立，求m的最大值；
（Ⅲ）令cn=（-1）n+1log
an
n+1
2，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求證：當n∈N*且n≥2時，T2n＜
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f（x）=
ax2+bx+1
x+c
（a＞0）為奇函數(shù)，且|f（x）|min=2
2
，數(shù)列{an}與{bn}滿足如下關(guān)系：a1=2，an+1=
f(an)-an
2
，bn=
an-1
an+1
．
（1）求f（x）的解析表達式；
（2）證明：當n∈N+時，有bn≤(
1
3
)n．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列[an}的通項公式為an=2n-3(n∈N*)，數(shù)列[bm}定義如下：對于正整數(shù)m，bm是使得不等式an≤m成立的所有n中的最大值，則b2=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，a2+a4=6，且對任意n∈N*，函數(shù)f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1?cosx-an+2sinx滿足f′(
π
2
)=0若cn=an+
1
2an
，則數(shù)列{cn}的前n項和Sn為（　�。�
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n

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