Question

14．一個正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長相等，體積為$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，則它的表面積為4+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖所示，PO⊥底面ABCD．取AB的中點E，連接OE，PE．設棱長AB=2x，則OE=x，PE=$\sqrt{3}$x，利用勾股定理可得PO=$\sqrt{2}$x，利用V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{ABCD}$•PO=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，解得x．
即可得出S_表面積=4S_正△PAB+S_{正方形ABCD}．

解答 解：如圖所示，
PO⊥底面ABCD．
取AB的中點E，連接OE，PE．
設棱長AB=2x，則OE=x，PE=$\sqrt{3}$x，
∴PO=$\sqrt{P{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$x，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{ABCD}$•PO
=$\frac{1}{3}（2x）^{2}$$•\sqrt{2}$x=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，
解得x=1．
∴S_表面積=4S_正△PAB+S_{正方形ABCD}=$4×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$+2²=4+4$\sqrt{3}$．
故答案為：4+4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正四棱錐的表面積與體積的計算公式、勾股定理、空間位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．