Question

6．設(shè)頂點(diǎn)都在一個球面上的三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為2，則該球的表面積為（　　）

• A． 9π
• B． 8π
• C． $\frac{23}{3}π$
• D． $\frac{28}{3}π$

Answer 1

分析 由題意可知上下底面中心連線的中點(diǎn)就是球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．

解答 解：根據(jù)題意條件可知三棱柱是棱長都為2的正三棱柱，
設(shè)上下底面中心連線EF的中點(diǎn)O，則O就是球心，其外接球的半徑為OA₁，
又設(shè)D為A₁C₁中點(diǎn)，在直角三角形EDA₁中，EA₁=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
在直角三角形OEA₁中，OE=1，由勾股定理得OA₁=$\sqrt{1+\frac{4}{3}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$
∴球的表面積為S=4π•$\frac{7}{3}$=$\frac{28}{3}$π，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查空間幾何體中位置關(guān)系、球和正棱柱的性質(zhì)以及相應(yīng)的運(yùn)算能力和空間形象能力．