Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=|2^x-1|的定義域和值域都是[a，b]，則a+b=1．

Answer 1

分析 先通過函數(shù)的值域求出a、b的范圍，再根據(jù)函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)性建立方程組，進行求解即可．

解答 解：因為f（x）=|2^x-1|的值域為[a，b]，
所以b＞a≥0，
而函數(shù)f（x）=|2^x-1|在[0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
即f（x）=2^x-1，
因為函數(shù)f（x）=|2^x-1|的定義域和值域都是[a，b]，
所以$\left\{\begin{array}{l}{f（a）={2}^{a}-1=a}\\{f（b）={2}^-1=b}\end{array}\right.$，
因此應(yīng)有，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
所以有a+b=1．
故答案為：1

點評 本題主要考查函數(shù)定義域和值域的求解和應(yīng)用，根據(jù)條件將函數(shù)進行化簡，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．