Question

10．若函數(shù)f（x）=alnx（a＞0）的圖象在x=1處的切線與圓x²+y²=b²（b＞0）相切，則$\frac{1}{^{2}}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$等于（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程求得切線方程，再由直線和圓相切的條件，化簡即可得到所求．

解答 解：函數(shù)f（x）=alnx（a＞0）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{a}{x}$，
∴f（x）的圖象在x=1處的切線斜率為k=a，
又切點(diǎn)為（1，0），
∴有在x=1處的切線方程為y=a（x-1），
∵由切線與圓x²+y²=b²（b＞0）相切，
∴$\frac{|a|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=b，即有$\frac{1}{^{2}}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$=1，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時考查直線和圓的位置關(guān)系：相切，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．