Question

12．已知函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在$（{0，\sqrt{a}}]$上是減函數(shù)，在$[{\sqrt{a}，+∞}）$上是增函數(shù)．
（1）若函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$的值域?yàn)?[{\sqrt{6}，+∞}）$，求a的值；
（2）已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+5}}{x+1}$，x∈[0，2]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域；
（3）對(duì)于（2）中的函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）=-x-2c，若對(duì)任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求實(shí)數(shù)c的值．

Answer 1

分析 （1）由題意求出x=$\sqrt{a}$時(shí)，y取最小值$\sqrt{6}$，代入求出a的值即可；
（2）先將函數(shù)f（x）變形，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值、最小值，進(jìn)而求出函數(shù)的值域；
（3）分別求出f（x），g（x）的值域，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為[4，5]⊆[-1-2c，-2c]，得到不等式組，解出即可．

解答 解：（1）函數(shù)在$（{0，\sqrt{a}}]$上是減函數(shù)，在$[{\sqrt{a}，+∞}）$上是增函數(shù)．
∴x=$\sqrt{a}$時(shí)：y最小，∴y的最小值是2$\sqrt{a}$=$\sqrt{6}$，解得：a=$\frac{3}{2}$；
（2）f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+5}}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)“=”成立，
∴函數(shù)f（x）在[0，1）遞減，在（1，2]遞增，
∴f（x）_最小值=f（1）=4，f（x）_最大值=f（0）=5，
∴函數(shù)的值域是[4，5]；
（3）∵g（x）在[0，1]單調(diào)遞減，∴g（x）∈[-1-2c，-2c]，
由題意知：[4，5]⊆[-1-2c，-2c]
于是有：$\left\{\begin{array}{l}{-1-2c≤4}\\{-2c≥5}\end{array}\right.$，解得：c=-$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“雙勾函數(shù)”函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$（x＞0）性質(zhì)及其應(yīng)用、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．