Question

15．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB．
（1）求B；
（2）若b=4，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)正弦定理化簡已知可得sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB，可得tanB=1，又0＜B＜π，即可求B的值．
（2）由余弦定理及基本不等式可得：ac≤16+8$\sqrt{2}$，根據(jù)三角形面積公式即可得解．

解答 解：（1）依據(jù)正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinCsinB，…（1分）
∵sinA=sin（B+C），
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB，
由sinC≠0，化簡可得：tanB=1…（3分）
又0＜B＜π
∴B=$\frac{π}{4}$．…（5分）
（2）∵b=4，
∴由余弦定理可得：16=a²+c²-2accosB=${a}^{2}+{c}^{2}-\sqrt{2}ac$≥2ac-$\sqrt{2}ac$，解得：ac≤16+8$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB$$≤\frac{1}{2}×$（16+8$\sqrt{2}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4$\sqrt{2}+4$…（10分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，基本不等式的應用，考查了三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正弦函數(shù)公式的應用，熟練掌握和靈活應用相關公式定理是關鍵，屬于基本知識的考查．