Question

9．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值為1．
（1）求a+b的值；
（2）求$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）討論當(dāng)x＜-b時(shí)，當(dāng)-b≤x≤a時(shí)，當(dāng)x＞a時(shí)，去掉絕對值，再由函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）的最小值，即可得到a+b的值；
（2）運(yùn)用乘1法，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）=3+$\frac{a}$+$\frac{2a}$，運(yùn)用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：（1）當(dāng)x＜-b時(shí)，f（x）=a-x+2（-x-b）=a-2b-3x，
可得f（x）＞a+b；
當(dāng)-b≤x≤a時(shí)，f（x）=a-x+2（x+b）=a+2b+x，
可得a+b≤f（x）≤2a+2b；
當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）=x-a+2x+2b=3x-a+2b，
可得f（x）＞2a+2b．
綜上可得f（x）的最小值為a+b，
由題意可得a+b=1；
（2）$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）=3+$\frac{a}$+$\frac{2a}$
≥3+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{2a}}$=3+2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)b=$\sqrt{2}$a，即a=$\sqrt{2}$-1，b=2-$\sqrt{2}$，
取得最小值3+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查絕對值函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，考查解不等式的運(yùn)用：求最值，注意運(yùn)用乘1法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．