Question

15．已知函數(shù)f（x）=2^x+k•2^-x（k∈R）為奇函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）=2^x+k•2^-x（k∈R）為奇函數(shù)．f（0）=0，可得k值；
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)“增-減=增”，可得函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2^x+k•2^-x（k∈R）為奇函數(shù)．
∴f（0）=1+k=0，
解得：k=-1，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k=-1時(shí)，f（x）=2^x-2^-x，滿足f（-x）=-f（x）恒成立，
即函數(shù)f（x）=2^x-2^-x為奇函數(shù)，
故k=-1，
（2）函數(shù)f（x）=2^x-2^-x為增函數(shù)，理由如下：
由y=2^x為增函數(shù)，y=2^-x=$（\frac{1}{2}）^{x}$為減函數(shù)，
由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，可得：f（x）=2^x-2^-x為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．