Question

7．數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，求證：“S_n=an²+bn，a，b∈R”是“數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列”的充要條件．

Answer 1

分析 由等差數(shù)列的求和公式和通項公式，分別證明必要性和充分性即可．

解答 證：充分性：當n=1時，a₁=a+b；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2an+b-a，
顯然當n=1時也滿足上式，
∴a_n-a_n-1=2a
∴{a_n}是等差數(shù)列．
必要性：∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∴S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=$\fracqmkhb22{2}$n²+（a₁-$\fracvr2pj7j{2}$）n，
令a=$\fraci6bf2k6{2}$，b=a₁-$\fraciys6t6s{2}$，則S_n=an²+bn，a，b∈R．
綜上，“S_n=an²+bn，a，b∈R”是“數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列”的充要條件．

點評 本題考查充要條件的證明，考查等差數(shù)列的定義與求和，屬基礎(chǔ)題．