Question

14．若函數(shù)f（x）同時滿足：①對于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0：②對于定義域上任意x₁，x₂，當x₁≠x₂時，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，則稱f（x）為“理想函數(shù)“．給出下列四個當中：①f（x）=$\frac{1}{x}$；②f（x）=x²；③f（x）=x³；④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}}&{x≥0}\\{{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}$，能稱為“理想函數(shù)”的有④（填相應的序號）．

Answer 1

分析 由題意得理想函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵函數(shù)f（x）同時滿足：①對于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0，
②對于定義域上任意x₁，x₂，當x₁≠x₂時，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，則稱f（x）為“理想函數(shù)”．
∴理想函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)．
在①中：f（x）=$\frac{1}{x}$是奇函數(shù)，但不是其定義域內(nèi)的減函數(shù)，故①不是“理想函數(shù)”；
在②中：f（x）=x²是偶函數(shù)，且不是其定義域內(nèi)的減函數(shù)，故②不是“理想函數(shù)”；
在③中：f（x）=x³是奇函數(shù)，是其定義域內(nèi)的增函數(shù)，故③不是“理想函數(shù)”；
在④中：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}}&{x≥0}\\{{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}$是奇函數(shù)，又是其定義域內(nèi)的減函數(shù)，故④不是“理想函數(shù)”．
故答案為：④．

點評 本題考查“理想函數(shù)”的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意“理想函數(shù)”的性質(zhì)的合理運用．