Question

點(diǎn)M（x,y）與定點(diǎn)（3，0）的距離和它到定直線l:x=的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)M的軌跡.

Answer 1

思路分析：利用已知曲線求方程的一般方法，先求出方程，再根據(jù)方程指出曲線的形狀.

解：如圖，設(shè)d是點(diǎn)M到直線l:x=的距離，根據(jù)題意，點(diǎn)M的軌跡就是集合P={M|}.

由此得.

將上式兩邊平方并化簡(jiǎn)，得16x²+25y²=400,

即=1.

所以點(diǎn)M的軌跡是長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別為10、8的橢圓.

溫馨提示

橢圓=1的離心率為e=.通過此例可以看出橢圓=1上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F（3，0）的距離與M到直線l：x=的距離的比值為離心率e.一般地，點(diǎn)M（x,y）與定點(diǎn)F（c,0）的距離和它到定直線l:x=的距離的比是常數(shù)（a＞c＞0）,則點(diǎn)M的軌跡是橢圓，方程為=1（b²=a²-c²）.因此，橢圓可以看作動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與它到定直線的距離的比為常數(shù)e（0＜e＜1）的M的軌跡，這就是橢圓的第二定義.