Question

【題目】已知橢圓以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上，焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上任一點(diǎn)，求點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，設(shè)的面積為（O是坐標(biāo)原點(diǎn)，Q是曲線C上橫坐標(biāo)為a的點(diǎn)），以為邊長的正方形的面積為，若正數(shù)滿足，問是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出此最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2） (3) m存在最小值

【解析】

（1）根據(jù)已知求出a，b，c值，可得橢圓C的方程；（2）設(shè)P（x，y），則y2＝2﹣2x2，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得|PA|2＝（x﹣a）2+y2＝（x﹣a）2+2﹣2x2，轉(zhuǎn)為二次函數(shù)求最值問題；（3）由題意分別表示出S1及S2，對(duì)不等式S1≤mS2進(jìn)行變量分離得到，令，通過換元t＝a2+1轉(zhuǎn)為二次函數(shù)求最值問題．

（1）由題意知c=1,又過點(diǎn)（1,0）所以b=1,故a=,則橢圓方程為.

（2）設(shè)，則

令，

所以當(dāng)時(shí)在[-1，1]上是減函數(shù)，

；

當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，

在上是減函數(shù)，則；

當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；

所以.

（3）當(dāng)時(shí)，，

.

若正數(shù)m滿足條件，

則，即，

，令，

設(shè)，則，.

，

所以，當(dāng)，即時(shí)，

即，.所以，m存在最小值

【另解】

由，得，

而

當(dāng)且僅當(dāng)，

即，等號(hào)成立，∴

從而，故m的最小值為