Question

17．已知函數$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}+a，x＞0}\\{{2^x}+a，x≤0}\end{array}}\right.$，若方程f（x）=-x有且僅有一解，則實數a的取值范圍為a≥-1或a=-2$\sqrt{2}$．．

Answer 1

分析 根據指數函數的圖象，結合圖象的平移可知當a≥-1時，2^x+a在x≤0時，與y=-x有一交點，而x+$\frac{1}{x}$+a在x＞0無交點，符合題意；
再考慮當a＜-1時的情況，結合圖象的平移和二次函數的知識求出a的取值．

解答 解：根據指數函數的圖象易知：
當a≥-1時，y=2^x+a在x≤0時，與y=-x有一交點，y=x+$\frac{1}{x}$+a在x＞0與y=-x無交點，符合題意；
當a＜-1時，只需x+$\frac{1}{x}$+a=-x有且僅有一根，
△=a²-8=0，
解得a=-2$\sqrt{2}$．
故答案為a≥-1或a=-2$\sqrt{2}$．

點評 考查了分段函數的應用和圖象的平移．