Question

10．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，過其右焦點F作直線l與雙曲線的右支交于點A、B，求FA•FB的最小值．

Answer 1

分析 求出雙曲線的a，b，c，可得右焦點F的坐標，設直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數），代入雙曲線的方程，運用韋達定理和參數的幾何意義，結合正弦函數的值域，即可得到所求最小值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的a=2，b=1，c=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
直線l過右焦點F（$\sqrt{5}$，0），
設直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數），
代入雙曲線的方程，化為t²（cos²α-4sin²α）+2$\sqrt{5}$tcosα+1=0，
由題意可得t₁t₂=$\frac{1}{co{s}^{2}α-4si{n}^{2}α}$＜0，
即有cos²α-4sin²α＜0，即sin²α＞$\frac{1}{5}$，
則FA•FB=|t₁t₂|=$\frac{1}{|1-5si{n}^{2}α|}$，
當sinα=1時，|1-5sin²α|取得最大值4，
即有FA•FB取得最小值$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查直線和雙曲線的位置關系，注意運用直線的參數方程中的參數幾何意義，考查韋達定理和運算能力，屬于中檔題．