Question

11．已知P為橢圓$\frac{{y}^{2}}{8}$+$\frac{{x}^{2}}{2}$=1上一點，A、B分別為橢圓的上、下頂點，直線PA、PB分別與直線x=-2交于點C、D，O為坐標原點，則△OCD的面積的最小值為8-4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設P（$\sqrt{2}cosα$，2$\sqrt{2}sinα$），0≤α≤2π，A（0，2$\sqrt{2}$），B（0，-2$\sqrt{2}$），求出直線PA和直線PB，由直線PA、PB分別與直線x=-2交于點C、D，求出C（-2，$\frac{2\sqrt{2}cosα-4sinα+4}{cosα}$），D（-2，-$\frac{4sinα+2\sqrt{2}cosα+4}{cosα}$），由此能求出△OCD的面積的最小值．

解答 解：∵P為橢圓$\frac{{y}^{2}}{8}$+$\frac{{x}^{2}}{2}$=1上一點，A、B分別為橢圓的上、下頂點，
∴P（$\sqrt{2}cosα$，2$\sqrt{2}sinα$），0≤α≤2π，A（0，2$\sqrt{2}$），B（0，-2$\sqrt{2}$），
∴直線PA：$\frac{y-2\sqrt{2}}{x}=\frac{2\sqrt{2}（sinα-1）}{\sqrt{2}cosα}$，直線PB：$\frac{y+2\sqrt{2}}{x}$=$\frac{2\sqrt{2}（sinα+1）}{\sqrt{2}cosα}$，
∵直線PA、PB分別與直線x=-2交于點C、D，
∴C（-2，$\frac{2\sqrt{2}cosα-4sinα+4}{cosα}$），D（-2，-$\frac{4sinα+2\sqrt{2}cosα+4}{cosα}$），
∴△OCD的面積S=$\frac{1}{2}×2×$|$\frac{2\sqrt{2}cosα-4sinα+4}{cosα}$+$\frac{4sinα+2\sqrt{2}cosα+4}{cosα}$|=|4$\sqrt{2}$+$\frac{8}{cosα}$|，
∴當cosα=-1時，△OCD的面積的最小值為S_min=8-4$\sqrt{2}$．
故答案為：8-4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查三角形面積的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓參數(shù)方程、直線方程、三角函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．