Question

14．已知拋物線C的方程y²=-8x，設(shè)過點N（2，0）的直線l的斜率為k，且與拋物線C相交于點S、T，若S、T兩點只在第二象限內(nèi)運動，線段ST的垂直平分線交x軸于Q點，則Q點橫坐標(biāo)的取值范圍是（-∞，-6）．

Answer 1

分析 由題意得ST的方程為y=k（x-2）（顯然k≠0），與y²=-8x聯(lián)立消元得ky²+8y+16k=0，利用韋達(dá)定理，求出線段ST的中點B的坐標(biāo)，可得線段ST的垂直平分線方程，令y=0，得點Q的橫坐標(biāo)，可得Q點橫坐標(biāo)的取值范圍．

解答 解：設(shè)S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），由題意得ST的方程為y=k（x-2）（顯然k≠0），
與y²=-8x聯(lián)立消元得ky²+8y+16k=0，
則有y₁+y₂=-$\frac{8}{k}$，y₁y₂=16．
因為直線l交拋物線C于兩點，
則△=64-64k²＞0，
再由y₁＞0，y₂＞0，則-$\frac{8}{k}$＞0，
故-1＜k＜0，
可求得線段ST的中點B的坐標(biāo)為（-$\frac{4}{{k}^{2}}$+2，-$\frac{4}{k}$）
所以線段ST的垂直平分線方程為y+$\frac{4}{k}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{4}{{k}^{2}}$-2），
令y=0，得點Q的橫坐標(biāo)為x_Q=-2-$\frac{4}{{k}^{2}}$＜-6，
所以Q點橫坐標(biāo)的取值范圍為（-∞，-6）．
故答案為：（-∞，-6）．

點評 本題考查Q點橫坐標(biāo)的取值范圍，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．