Question

15．已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₄=16．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n與前n項和S_n；
（2）設等差數(shù)列{b_n}中，b₂=a₂，b₉=a₅，求數(shù)列{b_n}的通項公式b_n與前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等比數(shù)列前n項和公式求出公比q，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式a_n與前n項和S_n．
（2）先求出b₂=4，b₉=32，再利用等差數(shù)列通項公式求出首項和公差，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項公式b_n與前n項和S_n．

解答 解：（1）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₁=2，a₄=16，∴16=2q³，解得q=2，
∴${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}=2•{2}^{n-1}={2}^{n}$，
${S_n}=\frac{{{a_1}（1-{q^n}）}}{1-q}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}={2^{n+1}}-2$．
（2）由（1）得b₂=a₂=4，b₉=a₅=32，
設等差數(shù)列{b_n}的公差為d，
則$\left\{\begin{array}{l}{_{1}+d=4}\\{_{1}+8d=32}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{_{1}=0}\\{d=4}\end{array}\right.$，
∴b_n=4n-4，
∴${S}_{n}=_{1}n+\frac{n（n-1）}{2}d$=$\frac{n（n-1）}{2}×4$=2n²-2n．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．