Question

2．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤6}\\{2x+y≤6}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，則Z=max{2x+3y-1，x+2y+2}的取值范圍是[2，9]．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用作差法求出z的表達(dá)式，然后根據(jù)平移，根據(jù)數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤6}\\{2x+y≤6}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
2x+3y-1-（x+2y+2）=x+y-3，
即z=max{2x+3y-1，x+2y+2}=$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y-1，x+y-3≥0}\\{x+2y+2，x+3-3＜0}\end{array}\right.$，
其中直線x+y-3=0過A，C點(diǎn)．
在直線x+y-3=0的上方，平移直線z=2x+3y-1（紅線），當(dāng)直線z=2x+3y-1經(jīng)過點(diǎn)B（2，2）時(shí)，
直線z=2x+3y-1的截距最大，
此時(shí)z取得最大值為z=2×2+3×2-1=9．
在直線x+y-3=0的下方，平移直線z=x+2y+2（藍(lán)線），當(dāng)直線z=x+2y+2經(jīng)過點(diǎn)O（0，0）時(shí)，
直線z=x+2y+2的截距最小，
此時(shí)z取得最小值為z=0+2=2．
即2≤z≤9，
故答案為：[2，9]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)z的幾何意義確定對(duì)應(yīng)的直線方程是截距本題的關(guān)鍵．難度較大．