Question

1．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)$f（x）=\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（3）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（0）=$\frac{-1+b}{2+a}$=0，f（1）=-f（-1），由此能求出a，b，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷、證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識(shí)求出k的取值范圍

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函數(shù)，
∴f（0）=$\frac{-1+b}{2+a}$=0，解得b=1．
又由f（1）=-f（-1）知$\frac{-2+1}{4+a}$=$\frac{-\frac{1}{2}+1}{1+a}$，解得a=2，
∴f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$．
（2）f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
∴f′（x）=-$\frac{{2}^{x}ln2}{（{2}^{x}+1）^{2}}$＜0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)；
（3）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等價(jià)于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k），
∵函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，∴由上式推得t²-2t＞-2t²+k，
即對(duì)一切t∈R有3t²-2t-k＞0，
從而判別式△=4+12k＜0，解得k＜-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用；同時(shí)考查一元二次不等式恒成立問題的解決策略．