Question

18．如圖，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，有下列結論：①四邊形CEDF有可能成為正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四邊形CEDF的面積是定值；④點C到線段EF的最大距離為$\sqrt{2}$．
其中正確的結論是（　�。�?

• A． ①④
• B． ②③
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①當點E，F分別為AC，CB的中點時，四邊形CEDF為正方形，即可判斷出正誤；
②如圖所示，建立直角坐標系，設E（a，0），則F（0，4-a），D（2，2），于是$\overrightarrow{DF}$=（-2，2-a），$\overrightarrow{DE}$=（a-2，-2），計算$\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{DE}$=0，可得$\overrightarrow{DE}⊥\overrightarrow{DF}$，又$|\overrightarrow{DE}|$=$|\overrightarrow{DF}|$=$\sqrt{（a-2）^{2}+4}$，即可判斷出正誤；
③四邊形CEDF的面積=S_△ABC-S_△ADE-S_△BDF=$\frac{1}{2}×{4}^{2}$-$\frac{1}{2}×AD×AEsin4{5}^{°}$-$\frac{1}{2}×BD×BFsin4{5}^{°}$，即可判斷出正誤；
④設點C到線段EF的距離為h，利用S_△CEF=$\frac{1}{2}CE•CF$=$\frac{1}{2}h•EF$，可得$h=\frac{CE•CF}{\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}}$，設CE=x，則CF=4-x，可得h=$\frac{4x-{x}^{2}}{\sqrt{2{x}^{2}-8x+16}}$，令4x-x²=t∈（0，4]，則h（x）=g（t）=$\frac{t}{\sqrt{16-2t}}$，g²（t）=$\frac{{t}^{2}}{16-2t}$=f（t），利用導數研究其單調性極值與最值，即可判斷出正誤．

解答 解：①當點E，F分別為AC，CB的中點時，四邊形CEDF為正方形，正確；
②如圖所示，建立直角坐標系，設E（a，0），則F（0，4-a），D（2，2），于是$\overrightarrow{DF}$=（-2，2-a），$\overrightarrow{DE}$=（a-2，-2），
∴$\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{DE}$=-2（a-2）-2（2-a）=0，∴$\overrightarrow{DE}⊥\overrightarrow{DF}$，又$|\overrightarrow{DE}|$=$|\overrightarrow{DF}|$=$\sqrt{（a-2）^{2}+4}$，因此△DFE可以是等腰直角三角形，正確；
③四邊形CEDF的面積=S_△ABC-S_△ADE-S_△BDF=$\frac{1}{2}×{4}^{2}$-$\frac{1}{2}×AD×AEsin4{5}^{°}$-$\frac{1}{2}×BD×BFsin4{5}^{°}$=8-$\frac{\sqrt{2}}{2}（AE+BF）$=$8-\frac{\sqrt{2}}{2}×4$=8-2$\sqrt{2}$是定值，因此正確；
④設點C到線段EF的距離為h，∵S_△CEF=$\frac{1}{2}CE•CF$=$\frac{1}{2}h•EF$，∴$h=\frac{CE•CF}{\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}}$，設CE=x，則CF=4-x，∴h=$\frac{x（4-x）}{\sqrt{{x}^{2}+（4-x）^{2}}}$=$\frac{4x-{x}^{2}}{\sqrt{2{x}^{2}-8x+16}}$，令4x-x²=t∈（0，4]，則h（x）=g（t）=$\frac{t}{\sqrt{16-2t}}$，g²（t）=$\frac{{t}^{2}}{16-2t}$=f（t），f′（t）=$\frac{2t（16-2t）-（-2）{t}^{2}}{（16-2t）^{2}}$=$\frac{2t（16-t）}{（16-2t）^{2}}$＞0，∴函數f（t）在t∈（0，4]上單調遞增，∴f（t）_max=f（4）=$\frac{16}{16-8}$=2，
因此g（t）即h的最大值為$\sqrt{2}$，正確．
故選：D．

點評 本題考查了向量垂直與數量積的關系、等腰直角三角形的性質、三角形的面積計算公式、利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．