Question

15．已知y=f（x）為R上的連續(xù)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為f′（x），當(dāng)x≠0時，f′（x）＞$\frac{-f（x）}{x}$，則關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$的零點個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 0
• C． 0或2
• D． 2

Answer 1

分析 將求g（x）的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為求xg（x）的最值問題，由已知求出h（x）=xg（x）＞0，得出g（x）＞0恒成立．

解答 解：∵f′（x）＞$\frac{-f（x）}{x}$，
令h（x）=xf（x）+1，
∴h′（x）=f（x）+xf′（x），
∴x＞0時，h（x）單調(diào)遞增，
x＜0時，h（x）單調(diào)遞減，
∴h（x）_min=h（0）=1＞0，
∴x≠0時，g（x）＞0恒成立，
故零點的個數(shù)是0個，
故選：B．

點評 本題考察了函數(shù)的零點問題，滲透了轉(zhuǎn)化思想，導(dǎo)數(shù)問題，函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．