Question

10．對(duì)于定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果同時(shí)滿(mǎn)足下列三條：
①對(duì)任意的x∈[0，+∞），總有f（x）≥0；
②若x₁≥0，x₂≥0，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立；
③若0≤x₁＜x₂＜1，則$\frac{{f（{x_1}+1）-f（{x_2}+1）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞1．
則稱(chēng)函數(shù)f（x）為超級(jí)囧函數(shù)，則下列是超級(jí)囧函數(shù)的為（3）．
（1）f（x）=sinx
（2）g（x）=$\frac{1}{4}{x^2}$（x∈[0，1]）
（3）h（x）=2^x-1；
（4）p（x）=ln（x+1）

Answer 1

分析 根據(jù)超級(jí)囧函數(shù)的定義，分別判斷函數(shù)是否滿(mǎn)足條件即可得到結(jié)論．

解答 解：對(duì)于（1）不滿(mǎn)足①對(duì)任意的x∈[0，+∞），總有f（x）≥0，故（1）不是超級(jí)囧函數(shù)；
對(duì)于（2），g（x）=$\frac{1}{4}{x^2}$（x∈[0，1]），則g（x₁+x₂），g（x+1）可能沒(méi)意義，故故（2）不是超級(jí)囧函數(shù)；
對(duì)于（3），函數(shù)h（x）=2^x-1（x∈[0，+∞）上滿(mǎn)足h（x）≥0，
若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則h（x₁+x₂）-[h（x₁）+h（x₂）]=2^x₁+x₂-1-[（2^x₁-1）+（2^x₂-1）
=2^x₁+x₂-2^x₁-2^x₂+1）=（2^x₁-1）（2^x₂-1）≥0，
即h（x₁+x₂）≥h（x₁）+h（x₂），
要滿(mǎn)足0≤x₁＜x₂＜1，則$\frac{{f（{x_1}+1）-f（{x_2}+1）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞1，只需f（x₁+1）-f（x₂-1）＜（x₁+1）-（x₂+1），即函數(shù)G（t）=f（t）-t在[1，2）上遞增即可．函數(shù)h（x）=2^x-1顯然滿(mǎn)足，故（3）是超級(jí)囧函數(shù)；
對(duì)于（4），x₁≥0，x₂≥0時(shí)，p（x₁+x₂）-[p（x₁）+p（x₂）]=ln$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+1}{{（x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=ln$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+1}{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{1}{x}_{2}+1}$≤0，故不滿(mǎn)足②若x₁≥0，x₂≥0，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，故（4）不是超級(jí)囧函數(shù)；
故答案為：（3）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的定義分別判斷條件已經(jīng)利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法．屬于中檔題．