Question

8．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊a、b、c成等差數(shù)列，且$\frac{1}{cosA+cosB}$=$\frac{2sinB-sinA}{sinA+sinB}$，若三角形的內(nèi)切圓半徑為2，則三角形的面積為24．

Answer 1

分析 利用a、b、c成等差數(shù)列，可得2b=a+c，利用$\frac{1}{cosA+cosB}$=$\frac{2sinB-sinA}{sinA+sinB}$，可得C=90°，結(jié)合三角形的內(nèi)切圓半徑為2，求出a，b，c，即可求出三角形的面積．

解答 解：∵a、b、c成等差數(shù)列，
∴2b=a+c，①
∴2sinB-sinA=sinC，
∵$\frac{1}{cosA+cosB}$=$\frac{2sinB-sinA}{sinA+sinB}$，
∴$\frac{1}{cosA+cosB}$=$\frac{sinC}{sinA+sinB}$，
∴2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$=sinC•2cos$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$，
∴sin$\frac{A+B}{2}$=2sin$\frac{A+B}{2}$•cos$\frac{A+B}{2}$•cos$\frac{A+B}{2}$，
∴A+B=90°，
∴C=90°
∵三角形的內(nèi)切圓半徑為2，
∴a-2+b-2=c，
∴c=a+b-4②，
∵a²+b²=c²，③
∴由①②③可得a=6，b=8，c=10，
∴三角形的面積為$\frac{a+b+c}{2}•r$=24，
故答案為：24．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查三角函數(shù)知識，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．