Question

11．求函數(shù)y=arctan（$\sqrt{2}$sinx-cosx）的值域．

Answer 1

分析 由條件利用輔助角公式，正弦函數(shù)的值域求得（$\sqrt{2}$sinx-cosx）∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，再根據(jù)反正切函數(shù)的定義可得y=arctan（$\sqrt{2}$sinx-cosx）的值域．

解答 解：由于 $\sqrt{2}$sinx-cosx=$\sqrt{3}$sin（x+θ），cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，sinθ=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴（$\sqrt{2}$sinx-cosx）∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．
再根據(jù)反正切函數(shù)的定義可得函數(shù)y=arctan（$\sqrt{2}$sinx-cosx）∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
即函數(shù)y=arctan（$\sqrt{2}$sinx-cosx）得值域為[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]．

點評 本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的值域，反正切函數(shù)的定義，屬于基礎題．