Question

9．已知一個正三棱柱，一個體積為$\frac{4π}{3}$的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個正三棱柱的表面積是$18\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由球的體積可以求出半徑，從而得棱柱的高；由球與正三棱柱的三個側(cè)面相切，得球的半徑和棱柱底面正△邊長的關(guān)系，求出邊長，即求出底面正△的面積；得出棱柱的表面積．

解答 解：此棱柱為正棱柱，體積$\frac{4π}{3}$的球體半徑為1，由此可以得到三棱柱的高為2，
底面正三角形內(nèi)切圓的半徑為1，
故底面三角形高為3邊長為2$\sqrt{3}$，
所以正三棱柱的表面積S=2×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×3+3×2$\sqrt{3}$×2=18$\sqrt{3}$．
故答案為：$18\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了球的體積，柱體體積公式的應(yīng)用；本題的解題關(guān)鍵是求底面邊長，這是通過正△的內(nèi)切圓與邊長的關(guān)系得出的．