Question

1．設(shè)$f（x）=kx+m，g（x）=lnx-\frac{1}{x}$．
（1）若函數(shù)f（x）-g（x）在區(qū)間（0，+∞）上減函數(shù)，求k的取值范圍；
（2）當(dāng)k=2時(shí)，若函數(shù)f（x）的圖象是函數(shù)g（x）的圖象的切線，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f′（x）-g′（x）≤0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立．即k≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$（x＞0）恒成立，有二次函數(shù)的值域，即可得到所求k的范圍；
（2）由題意可得y=2x+m為g（x）=lnx-$\frac{1}{x}$的切線，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），求出導(dǎo)數(shù)，切線的斜率，解方程可得切點(diǎn)，進(jìn)而得到m的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）-g（x）在區(qū)間（0，+∞）上減函數(shù)，
即為f′（x）-g′（x）≤0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立．
即k≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$（x＞0）恒成立，
由$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$＞0，可得k≤0，
即有k的取值范圍（-∞，0]；
（2）由題意可得y=2x+m為g（x）=lnx-$\frac{1}{x}$的切線，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），g′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
即有$\frac{1}{{x}_{0}}$+$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$=2，解得x₀=1（負(fù)的舍去），
y₀=ln1-1=-1，
即有m=y₀-2x₀=-1-2=-3．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．