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分析 （Ⅰ）證明BD⊥DF，DF⊥BC，利用直線與平面垂直的判定定理證明BC⊥平面CFD，然后證明面BCE⊥面CDF．
（Ⅱ）連接OQ，通過證明RQ∥OM，然后證明QR∥平面BCD．
（Ⅲ）利用v_F-BCE=v_F-BCD-v_E-BCD求解幾何體的體積即可．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）∵DF=2，$BF=2\sqrt{3}$，$BD=2\sqrt{2}$，∴BF²=BD²+DF²，
∴BD⊥DF----------------------（1分）
又DF⊥CD，∴DF⊥平面BCD----------------------（2分）
∴DF⊥BC，
又BC⊥CD，∴BC⊥平面CFD，----------------------（3分）
∵BC?面BCE
∴面BCE⊥面CDF．----------------------（4分）
（Ⅱ）連接OQ，在面CFD內過R點做RM⊥CD，
∵O，Q為中點，∴OQ∥DF，且$OQ=\frac{1}{2}DE$-----------------（5分）
∵DF⊥CD∴RM∥FD，----------------------（6分）
又FR=3RC，∴$\frac{RM}{DF}=\frac{CR}{CF}=\frac{1}{4}$，∴$RM=\frac{1}{4}DF$，
∵E為FD的中點，∴$RM=\frac{1}{2}DE$．----------------------（7分）
∴OQ∥RM，且OQ=RM
∴OQRM為平行四邊形，∵RQ∥OM----------------------（8分）
又RQ?平面BCD，OM?平面BCD，∴QR∥平面BCD．---------------------（9分）
（Ⅲ）∵$\widehat{BC}=2\widehat{CD}$，∴∠DBC=30°，∴在直角三角形BCD中有$CD=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{6}$，
∴${v_{F-BCE}}={v_{F-BCD}}-{v_{E-BCD}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{2}×2-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{2}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$--------（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應用直線與平面平行的判定定理以及幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及邏輯推理計算能力．