學(xué)習(xí)力提升八年級數(shù)學(xué)浙教版
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11.如圖，BE，CD是$\triangle ABC$的中線.求證：$\triangle ADE$的面積是$\triangle ABC$的面積的$\frac{1}{4}$.
答案：證明：因?yàn)镃D是$\triangle ABC$的中線，所以AD=$\frac{1}{2}$AC，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$。因?yàn)锽E是$\triangle ABC$的中線，所以AE=$\frac{1}{2}$AB，$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$。
12.$\triangle ABC$中，$\angle A=x^{\circ}$.
(1)如圖1，PB，PC分別平分$\angle ABC$，$\angle ACB$，求$\angle BPC$（用x表示）.
(2)如圖2，D在BC延長線上，PB，PC分別平分$\angle ABC$，$\angle ACD$.求$\angle BPC$（用x表示）.
(3)由(1)、(2)，你能歸納總結(jié)出什么結(jié)論？
答案：(1)$90^{\circ}+\frac{1}{2}x^{\circ}$
解析：$\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-x^{\circ}$，因?yàn)镻B，PC分別平分$\angle ABC$，$\angle ACB$，所以$\angle PBC+\angle PCB=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=90^{\circ}-\frac{1}{2}x^{\circ}$，$\angle BPC=180^{\circ}-(\angle PBC+\angle PCB)=90^{\circ}+\frac{1}{2}x^{\circ}$。
(2)$\frac{1}{2}x^{\circ}$
解析：$\angle ACD=\angle A+\angle ABC$，因?yàn)镻C平分$\angle ACD$，所以$\angle PCD=\frac{1}{2}\angle ACD=\frac{1}{2}(\angle A+\angle ABC)$。因?yàn)镻B平分$\angle ABC$，所以$\angle PBC=\frac{1}{2}\angle ABC$。$\angle BPC=\angle PCD-\angle PBC=\frac{1}{2}(\angle A+\angle ABC)-\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\angle A=\frac{1}{2}x^{\circ}$。
(3)三角形兩內(nèi)角平分線相交所成角等于$90^{\circ}$加上第三角的一半；三角形一內(nèi)角平分線與另一外角平分線相交所成角等于第三角的一半。
