2025年強(qiáng)基特訓(xùn)營(yíng)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)蘇教版
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11. (1)已知直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距大1，且過(guò)點(diǎn)(6,-2)，求直線l的方程。(5分)
答案：解：設(shè)直線在y軸上的截距為b，則在x軸上的截距為b+1，方程為$\frac{x}{b+1}+\frac{y}=1$。代入(6,-2)得$\frac{6}{b+1}-\frac{2}=1$，解得$b=1$或$b=2$。直線方程為$\frac{x}{2}+y=1$或$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$，即$x+2y-2=0$或$2x+3y-6=0$。
11. (2)求斜率為$-\frac{4}{3}$，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形周長(zhǎng)為9的直線方程。(5分)
答案：解：設(shè)直線方程為$y=-\frac{4}{3}x+b$，與x軸交點(diǎn)$(\frac{3b}{4},0)$，與y軸交點(diǎn)(0,b)。三角形邊長(zhǎng)分別為$|\frac{3b}{4}|$，$|b|$，$\sqrt{(\frac{3b}{4})^2+b^2}=\frac{5|b|}{4}$。周長(zhǎng)$\frac{3|b|}{4}+|b|+\frac{5|b|}{4}=3|b|=9$，$|b|=3$，$b=\pm3$。直線方程為$y=-\frac{4}{3}x+3$或$y=-\frac{4}{3}x-3$，即$4x+3y-9=0$或$4x+3y+9=0$。
12. 已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,4),B(-2,6),C(-8,0)。
(1)求AB邊所在直線的方程；(5分)
(2)求AC邊上的中線BD所在直線的方程；(5分)
(3)求經(jīng)過(guò)AB和AC的中點(diǎn)的直線的方程。(5分)
答案：解：(1)AB斜率$k=\frac{6-4}{-2-0}=-1$，方程$y-4=-1(x-0)$，即$x+y-4=0$。
(2)AC中點(diǎn)D(-4,2)，BD斜率$k=\frac{2-6}{-4-(-2)}=2$，方程$y-6=2(x+2)$，即$2x-y+10=0$。
(3)AB中點(diǎn)(-1,5)，AC中點(diǎn)(-4,2)，斜率$k=\frac{2-5}{-4-(-1)}=1$，方程$y-5=1(x+1)$，即$x-y+6=0$。
13. 已知直線l過(guò)點(diǎn)M(2,1)，且與x軸、y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求當(dāng)$|OA|+|OB|$取得最小值時(shí)直線l的方程。(10分)
答案：$x+\sqrt{2}y-2-\sqrt{2}=0$
解析：設(shè)直線方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}=1(a>0,b>0)$，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)M(2,1)，所以$\frac{2}{a}+\frac{1}=1$。$|OA|+|OB|=a+b=(a+b)(\frac{2}{a}+\frac{1})=3+\frac{2b}{a}+\frac{a}$，根據(jù)基本不等式，$\frac{2b}{a}+\frac{a}\geq2\sqrt{\frac{2b}{a}\cdot\frac{a}}=2\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2b}{a}=\frac{a}$時(shí)取等號(hào)，結(jié)合$\frac{2}{a}+\frac{1}=1$，解得$a=2+\sqrt{2}$，$b=1+\sqrt{2}$，故直線方程為$\frac{x}{2+\sqrt{2}}+\frac{y}{1+\sqrt{2}}=1$，化簡(jiǎn)得$x+\sqrt{2}y-2-\sqrt{2}=0$。
14. 如圖所示，已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB面積最小時(shí)直線l的方程。(10分)
答案：解：設(shè)直線方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}=1(a＞0,b＞0)$，$\frac{3}{a}+\frac{2}=1$。面積$S=\frac{1}{2}ab$，由$1=\frac{3}{a}+\frac{2}\geq2\sqrt{\frac{6}{ab}}$，得$ab\geq24$，$S\geq12$，當(dāng)$\frac{3}{a}=\frac{2}=\frac{1}{2}$，$a=6$，$b=4$時(shí)取等號(hào)，方程為$\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1$，即$2x+3y-12=0$。
