2025年中學(xué)生數(shù)學(xué)課時(shí)精練九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期
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9. 如圖，已知點(diǎn)G是等邊△ABC的中心，記向量$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AC}=\vec$，那么向量$\overrightarrow{AG}=$（用向量$\vec{a}$、$\vec$的形式表示，其中x、y為實(shí)數(shù)）
答案：因?yàn)辄c(diǎn)G是等邊△ABC的中心，則$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec$。
10. 如圖，已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，設(shè)$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec$，那么向量$\overrightarrow{AB}$關(guān)于$\vec{a}$、$\vec$的分解式為
答案：因?yàn)?\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，已知$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec$，所以$\overrightarrow{AB}=\vec-\vec{a}$。
11. 如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，BC = 2AD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，設(shè)$\overrightarrow{AD}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AB}=\vec$。(1) 試用$\vec{a}$、$\vec$的式子表示向量$\overrightarrow{AC}$；(2) 在圖中作出向量$\overrightarrow{DO}$在$\vec{a}$、$\vec$方向上的分向量，并寫(xiě)出結(jié)論。
答案：(1) 因?yàn)?\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$，又BC = 2AD，$\overrightarrow{AD}=\vec{a}$，所以$\overrightarrow{BC}=2\vec{a}$，則$\overrightarrow{AC}=\vec+2\vec{a}$。
(2) 過(guò)點(diǎn)D作DE//AB交BC于點(diǎn)E，因?yàn)锳D//BC，DE//AB，所以四邊形ABED是平行四邊形，$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AD}=\vec{a}$，$\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BE}=2\vec{a}-\vec{a}=\vec{a}$。
由于△AOD∽△COB，且$\frac{AD}{BC}=\frac{1}{2}$，所以$\frac{DO}{BO}=\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{DO}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\vec-\vec{a}$，$\overrightarrow{DO}=\frac{1}{3}(\vec-\vec{a})$，在$\vec{a}$、$\vec$方向上的分向量分別為$-\frac{1}{3}\vec{a}$和$\frac{1}{3}\vec$。
12. 如圖，E是平行四邊形ABCD的邊BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CE交AD于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G。(1) 用向量$\vec{a}$、$\vec$分別表示下列向量：設(shè)$\overrightarrow{BA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\vec$，$\overrightarrow{BF}=$ ；$\overrightarrow{AF}=$ ；$\overrightarrow{CC}=$ ；(2) 但要寫(xiě)出結(jié)論：AF分別在$\vec{a}$、$\vec$方向上的分向量（不寫(xiě)作法）
答案：(1) 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，AD//BC，
由△EAF∽△EBC，設(shè)$\frac{EA}{EB}=k$，$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}$，
因?yàn)锳D//BC，所以$\frac{AF}{BC}=\frac{EA}{EB}$，設(shè)$\frac{EA}{EB}=\lambda$（$0<\lambda<1$），則$\overrightarrow{AF}=\lambda\overrightarrow{BC}=\lambda\vec$，$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}=\vec{a}+\lambda\vec$，$\overrightarrow{CC}$表述有誤，應(yīng)該是$\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BE}=(1 + \lambda)\overrightarrow{BA}=(1 + \lambda)\vec{a}$，所以$\overrightarrow{CE}=(1 + \lambda)\vec{a}-\vec$。
(2) AF在$\vec{a}$方向上的分向量為$\vec{0}$，在$\vec$方向上的分向量為$\overrightarrow{AF}=\lambda\vec$（$\lambda$為上述相似比）。
13. 如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，E是CD的中點(diǎn)，且EC = $\frac{1}{2}$AB，AC與BE相交于點(diǎn)F。(1) 若$\overrightarrow{AB}=\vec{m}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{n}$，請(qǐng)用$\vec{m}$、$\vec{n}$來(lái)求$\overrightarrow{DC}$、$\overrightarrow{AF}$；(2) 請(qǐng)直接在圖中畫(huà)出$\overrightarrow{AC}$在$\vec{m}$、$\vec{n}$方向上的分向量。
答案：(1) 因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，且EC = $\frac{1}{2}$AB，AB//CD，所以$\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AB}=\vec{m}$。
因?yàn)锳B//CD，所以△ABF∽△CEF，且$\frac{AB}{CE}=2$，則$\frac{AF}{FC}=2$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\vec{n}+\vec{m}$，所以$\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}(\vec{m}+\vec{n})$。
(2) 過(guò)點(diǎn)C作CM//AD交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}$，在$\vec{m}$方向上的分向量為$\overrightarrow{AM}$（$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$，因?yàn)锳D//MC，AB//CD，四邊形AMCD是平行四邊形，$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{DC}=\vec{m}$，$\overrightarrow{AM}=2\vec{m}$），在$\vec{n}$方向上的分向量為$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AD}=\vec{n}$，按照平行四邊形法則畫(huà)出即可。
