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萊蒙托夫是俄國(guó)著名的詩人，愛好數(shù)學(xué)，有一次，他給一些軍官表演猜數(shù)游戲，他請(qǐng)一名軍官隨便想好一個(gè)數(shù)，不要說出來，然后請(qǐng)這位軍官將想好的數(shù)加上25，再加上125，再減去37，再減去最初想好的數(shù)，把所得的數(shù)乘以5，最后再除以2．這時(shí)萊蒙托夫說，我可以猜出你算出的結(jié)果，他問那位軍官是282.5嗎，那位軍官非常吃驚，萊蒙托夫是怎樣算出正確結(jié)果的，解釋其中的道理．

已知∠B=∠C=90°，M是BC的中點(diǎn)，MN⊥AD，若∠1=∠2，求證：∠3=∠4，你還有什么發(fā)現(xiàn)？

甲、乙兩船航行于海上，甲船的位置在乙船北方125km處，以15km/h的速度向東行駛，乙船以20km/h的速度向北行駛，則多久兩船相距最近？最近距離為多少？

設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，關(guān)于x的方程r²（x²+1）-2d²x=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則直線l與⊙O（　　）

如圖（1），是一起吊重物的簡(jiǎn)單裝置，AB是吊桿，當(dāng)它傾斜時(shí)，將重物掛起，當(dāng)它逐漸直立時(shí)，重物便能逐漸升高．在陽光下，當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，量得吊桿AB的影子長(zhǎng)BC=11.5米，很快將吊桿直立（直立過程所需時(shí)間忽略不計(jì)），如圖（2），AB與地面垂直時(shí)，量得吊桿AB的影子長(zhǎng)BC=4米，求吊桿AB的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1米）．

已知在Rt△ABC中，∠C=90°，c=5，且cos²A-2

2

cosA+1=0，求b的值．

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=

2

．
（1）求斜邊AB的長(zhǎng)；
（2）求這個(gè)直角三角形的面積．

如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的高，BC=AD=8，sinB=

4

5

，求tan∠CAD的值．

等邊△ABC邊長(zhǎng)為1，D、E、F分別在邊AB、BC、CA上，△DEF也是等邊三角形．
（1）證明：△ADF≌△CFE≌△BED．
（2）設(shè)AD=x，△DEF的面積為y，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)x取什么值時(shí)，△DEF的面積最�。坎⑶蟪鲎钚≈担�

已知如圖，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，△DCE是等腰三角形，CD=CE，點(diǎn)B、C、E在一條直線上，點(diǎn)M是AB上的一點(diǎn)，P是線段MC的中點(diǎn)，PA⊥PN，點(diǎn)N在DE上．
（1）探究PA與PN的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）探究DN與AM的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．