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已知：將一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如圖①擺放，點(diǎn)E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點(diǎn)。將Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)角α(0°＜α＜90°)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線DE、AC相交于點(diǎn)M，直線DF、BC相交于點(diǎn)N，分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H。

(1）當(dāng)α＝30°時(shí)(如圖②)，求證：AG=DH；

(2）當(dāng)α＝60°時(shí)(如圖③)，(1)中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由；

(3）當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并根據(jù)圖④說(shuō)明理由。

如圖1，△ABC為等邊三角形，面積為S．D_{1、E1、F1分別是△ABC三邊上的點(diǎn)，且，連結(jié)、、，可得△是等邊三角形，此時(shí)△的面積，△的面積．}

⑴ 當(dāng)D2、E2、F2分別是等邊△ABC三邊上的點(diǎn)，且時(shí)如圖2，

① 求證：△是等邊三角形；

② 若用S表示△的面積，則S2 = 　　　　　　 ；

若用S表示△的面積，則= 　　　　　　 ．

⑵ 按照上述思路探索下去，并填空：

當(dāng)Dn、En、Fn分別是等邊△ABC三邊上的的點(diǎn)，時(shí)，（n為正整數(shù)）

△DnEnFn是　　　　　　 　　　　　　三角形；

若用S表示△ADnFn的面積Sn，則Sn = 　　　　　　 ；

若用S表示△DnEnFn的面積，則= 　　　　　　．

將正六邊形紙片按下列要求分割（每次分割，紙片均不得有剩余）；

第一次分割：將正六邊形紙片分割成三個(gè)全等的菱形，然后選取其中的一個(gè)菱形在分割成一個(gè)正六邊形和兩個(gè)全等的正三角形；

第二次分割：將第一次分割后所得的正六邊形紙片分割成三個(gè)全等的菱形，然后選取其中的一個(gè)菱形在分割成一個(gè)正六邊形和兩個(gè)全等的正三角形；

按上述分割方法進(jìn)行下去……

(1）請(qǐng)你在下圖中畫出第一次分割的示意圖；

(2）若原正六邊形的面積為，請(qǐng)你通過(guò)操作和觀察，將第1次，第2次，第3次分割后所得的正六邊形的面積填入下表：

（3）觀察所填表格，并結(jié)合操作，請(qǐng)你猜想：分割后所得的正六邊形的面積S與分割次數(shù)有何關(guān)系？（S用含和n的代數(shù)式表示，不需要寫出推理過(guò)程）。

如圖，，過(guò)上到點(diǎn)的距離分別為，，，，的點(diǎn)作的垂線與相交，再按一定規(guī)律標(biāo)出一組如圖所示的黑色梯形．設(shè)前個(gè)黑色梯形的面積和為．

(1）請(qǐng)完成下面的表格：

(2）已知與之間滿足一個(gè)二次函數(shù)關(guān)系，試求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式．

觀察下面的點(diǎn)陣圖形和與之相對(duì)應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：

(1）請(qǐng)你在④和⑤后面的橫線上分別寫出相對(duì)應(yīng)的等式：

(2）通過(guò)猜想，寫出與第n個(gè)圖形相對(duì)應(yīng)的等式．

如圖1、圖2、圖3中，點(diǎn)E、D分別是正△ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點(diǎn)為頂點(diǎn)，一邊延長(zhǎng)線和另一邊反向延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BE = CD，DB延長(zhǎng)線交AE于F.

⑴求圖1中，∠AFB的度數(shù)；

⑵圖2中，∠AFB的度數(shù)為___________，圖3中，∠AFB的度數(shù)為___________；

⑶根據(jù)前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n 邊形情況。若能，寫出推廣問(wèn)題和結(jié)論；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

兩條平行直線上各有個(gè)點(diǎn)，用這對(duì)點(diǎn)按如下的規(guī)則連接線段；

①平行線之間的點(diǎn)在連線段時(shí)，可以有共同的端點(diǎn)，但不能有其它交點(diǎn)；

②符合①要求的線段必須全部畫出；

圖1展示了當(dāng)時(shí)的情況，此時(shí)圖中三角形的個(gè)數(shù)為0；圖2展示了當(dāng)時(shí)的一種情況，此時(shí)圖中三角形的個(gè)數(shù)為2；

(1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出使三角形個(gè)數(shù)最少的圖形，此時(shí)圖中三角形的個(gè)數(shù)為

　　　　 　　　　 個(gè)；

(2）試猜想當(dāng)對(duì)點(diǎn)時(shí)，按上述規(guī)則畫出的圖形中，最少有多少個(gè)三角形？

(3）當(dāng)時(shí)，按上述規(guī)則畫出的圖形中，最少有多少個(gè)三角形？

圖1　　　　　　　　　　　圖2　　　　　　　　　圖3

某校的一間階梯教室，第1排的座位數(shù)為a，從第2排開始，每一排都比前一排增加b個(gè)座位.

⑴請(qǐng)你在下表的空格里填寫一個(gè)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式：

⑵已知第4排有18個(gè)座位，第15排座位數(shù)是第5排座位數(shù)的2倍，求第21排有多少個(gè)座位？

如圖，等腰中，，是底邊上的高，．

(1）與有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為；，垂足為；，垂足為；，垂足為；…；，垂足為；，垂足為（為非零自然數(shù)）．若，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示下表中線段的長(zhǎng)度（請(qǐng)將結(jié)果直接填入表中）；

（3）某工業(yè)園區(qū)一個(gè)車間的人字形屋架為（2）中的圖形，跨度為16米，是該屋架的主柱，為輔柱．若整個(gè)屋架有18根輔柱，則最短一根輔柱的長(zhǎng)度約為多少米（結(jié)果精確到0.1米）？

在下圖中，每個(gè)正方形有邊長(zhǎng)為1 的小正方形組成：

(1）觀察圖形，請(qǐng)?zhí)顚懴铝斜砀瘢?/p>

（2）在邊長(zhǎng)為（）的正方形中，設(shè)黑色小正方形的個(gè)數(shù)為，白色小正方形的個(gè)數(shù)為，問(wèn)是否存在偶數(shù)，使？若存在，請(qǐng)寫出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。