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如圖，四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，求四邊形ABCD的面積．

已知：如圖，在中，，，是過點的一條直線，于，于，求證: .

如圖四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A，B重合），另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F。
（1）如圖，當(dāng)點E在AB邊的中點位置時：

①通過測量DE，EF的長度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是        ；
②連接點E與AD邊的中點N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是           ；
③請證明你的上述兩猜想；
（2）如圖，當(dāng)點E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點N，使得NE=BF，進(jìn)而猜想并證明此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系。
 

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=DC，點E在對角線BD上，作∠ECF=90°，連接DF，且滿足CF=EC．

（1）求證：BD⊥DF；
（2）當(dāng)時，試判斷四邊形DECF的形狀，并說明理由．

(1)如圖，小明畫了一個角∠MON＝80°，點A、B分別在射線OM、ON上移動，△AOB的角平分線AC和BD交與點P，小明通過測量，發(fā)現(xiàn)不論怎樣變換點A、B的位置，∠APB的度數(shù)不發(fā)生改變，一直都是130°，請你解釋其中的原因。

（2）小明想明白后，又開始考慮下圖中的問題：△AOB的內(nèi)角平分線AC和外角平分線BD所構(gòu)成的∠C是不是也與∠AOB有特數(shù)的關(guān)系呢？如果∠AOB＝n°，那么∠C是多少度呢？請說明理由。

已知，如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90⁰，D是AB上一點，且∠ACD=∠B

（1）判斷△ACD的形狀？并說明理由。
（2）你在證明你的結(jié)論過程中應(yīng)用了哪一對互逆的真命題？

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=6，∠C=30°.點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運動.設(shè)點D、E運動的時間是t秒（t＞0）.過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF.

（1）求證：AE=DF.（2分）
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明現(xiàn)由.（5分）
（3）當(dāng)t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由.（5分）

如圖，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直線上，下面有四個條件，請你在其中選3個作為條件，余下的1個作為結(jié)論，使其成為一個真命題，并加以證明。（1）BE=CF，（2）AC = DF，（3）∠ABC=∠DEF，（4）AB=DE．
我所選擇的真命題是：

如圖，已知：                                                      
求證：
證明：

如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，AD⊥BC,點P為邊AB 上一個動點，過P點作PF//AC交線段BD于點F,作PG⊥AB交AD于點E,交線段CD于點G,設(shè)BP=x.

（1）①填空：如果BP=,則BG=       ;
②用x的代數(shù)式表示線段DG的長,并直接寫出自變量x的取值范圍;
（2）記△DEF的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式。
（3）當(dāng)以P、E、F為頂點的三角形與△EDG相似時，請求出BP的長。

如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長線上一點，CD與⊙O相切于點E，AD⊥CD。


（1）求證：AE平分∠DAC；
（2）若AB=6，∠ABE=60°，①求AD的長；②求出圖中陰影部分的面積。