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已知，四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形，試 判斷線段BE與DG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（1）證明：∵，    

∴．    …………………………………………（2分）

∵，      …………………………………………（1分）

∴∽．……………………………………… （1分）

∴． ……………………………………………（1分）

       （2）   ∵，

又∵，

  ∴．………………………………………………（1分）

∴．       ………………………………………………（1分）

又∵，

∴四邊形是平行四邊形 ………………………………………（1分）

∵，

∴．       ……………………………………………（1分）

∵平分，

∴．            …………………………………………（1分）

∴．

∴．        ……………………………………………（1分）

∴四邊形是菱形．   ……………………………………………………（1分）

如圖，四邊形中，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié)，交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DB ，，且.

(1) 求證：；

（2）當(dāng)平分時(shí)，求證：四邊形是菱形.

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴DC=AB，DC∥AB ，∴∠C=∠EBH，∠CDE=∠H

又∵E是CB的中點(diǎn)，∴CE=BE

∴△CDE≌△BHE ，∴BH=DC

∴BH=AB

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥CB，∴∠ADF=∠G

∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=AB，∠A=∠C

∵E、F分別是CB、AB的中點(diǎn)，∴AF=CE

∴△ADF≌△CDE ，∴∠CDE=∠ADF  ∴∠H=∠G

已知：平行四邊形ABCD中，E、F 是BC、AB 的中點(diǎn)，DE、DF分別交AB 、CB的延長(zhǎng)線于H、G；

（1）求證：BH =AB；

（2）若四邊形ABCD為菱形，試判斷∠G與∠H的大小，并證明你的結(jié)論．

答案：（1）BD=CD……………1分

證△AEF≌△DEC

∴AF=CD

∵AF=BD

∴BD=CD……………5分

(2) 當(dāng)△ABC滿足：AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形………6分

∵AF//BD, AF=BD

∴四邊形AFBD是平行四邊形

   ∵AB=AC，BD=CD

∴∠ADB=90°

∴□AFBD是矩形………10分

如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF=BD，連結(jié)BF。

（1）BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是矩形？并說(shuō)明理由。

解：（1）如圖，與互相垂直平分．          （1分）

證明如下：連結(jié)、，

∵ //，

∴四邊形是平行四邊形．          （2分）

⊥，

∴⊥，

∵∠=90º，為的中點(diǎn)，

∴，                                          （2分）

∴四邊形是菱形．                                        （1分）

∴與互相垂直平分．

解：（2）設(shè)，則，．         （2分）

在Rt△中，∵，                           （1分）

∴．                                         （1分）

                         （1分）

∴．                                                 （2分）

如圖，中，，為的中點(diǎn)．

操作：過(guò)點(diǎn)做的垂線，過(guò)點(diǎn)作的平行線，兩直線相交于點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上截取，聯(lián)結(jié)、．

（1）試判斷與之間有怎樣的關(guān)系，并證明你所得的結(jié)論；

（2）如果，，求的長(zhǎng)．

（1）①120,84,24     （3分）   ②   （6分）

（2）①4,4    （8分）      

②2,1     （10分）

解釋：只有當(dāng)P，Q相遇于C點(diǎn)時(shí)圖像分為5段，其余情況圖像分為6段，所以甲的速度為乙的速度的2倍。

 ③ （12分）