Question

在△ABC中，AB=AC，邊BC的中點(diǎn)是D，作一等邊△DEF，使E、F分別在邊AB和AC上，問等邊△DEF的邊EF與BC平行嗎？為什么？

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：分類討論：（1）△ABC是銳角三角形，（2）△ABC是鈍角三角形，分別畫出圖形，求證EF∥BC即可解題．

解答：解：（1）若∠BDE=∠CDF=60°時(shí)，EF與BC平行，

理由：AB=AC，則∠B=C，
又BD=DC，∠BDE=∠CDF=60°
∴△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴△DEF為等邊三角形，∠DEF=60°，
∴∠DEF=∠BDE=60°
∴EF與BC平行．
（2）若∠BDE≠∠CDF時(shí)，等邊三角形DEF的邊EF與BC不平行，此時(shí)∠A=120°，

過D作DG⊥AB于G，在BA上依次取E，H兩點(diǎn)，使GE=GH，連結(jié)AD，
則DE=DH，∠DEG=∠DHG，過H作HF∥BC交AC于F，顯然EF與BC不平行；
∵AB=AC，
∴AH=AF，
∵在△AHD和△AFD中，

AH=AF ∠BAD=∠CAD AD=AD

，
∴△AHD≌△AFD，（SAS）
∴DF=DH=DE，∠AFD=∠AHD，
又∵∠DHG+∠AHD=180°，
∴∠DEG+∠AFD=180°，
∴∠BAC+∠EDF=180°，
∴當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，∠EDF=60°，△DEF為等邊三角形
即可作出等邊三角形DEF，使邊EF與BC不平行，此時(shí)∠A=120°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△AHD≌△AFD是解題的關(guān)鍵．