Question

15．已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)（OA＜OB），且OA、OB的長分別是一元二次方程x²-18x+72=0的兩根，點(diǎn)D為線段OB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作AB的垂線與線段AB相交于點(diǎn)C．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過點(diǎn)C的反比例函數(shù)解析式；
（3）已知點(diǎn)P在直線AD上，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以A、O、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出方程的解即可解決問題．
（2）先求出直線AB、CD的解析式．利用方程組求出點(diǎn)C坐標(biāo)，即可解決問題．
（3）分三種情形①當(dāng)OA是菱形AP₁OQ₁的對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)OA為菱形AP₂Q₂O的邊時(shí)，③當(dāng)OA為菱形AP₃Q₃O的邊時(shí)，分別求解即可．

解答 解：（1）由x²-18x+72=0，解得x=6或12，由題意OA=6．OB=12，
∴A（6，0），B（0，12）．

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b則有$\left\{\begin{array}{l}{b=12}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-2x+12，
∵DC⊥AB，D（0，6）
∴直線DC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+12}\\{y=\frac{1}{2}x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=\frac{36}{5}}\end{array}\right.$，
∴交點(diǎn)C坐標(biāo)（$\frac{12}{5}$，$\frac{36}{5}$），
∴過點(diǎn)C的反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{432}{25x}$．

（3）如圖

①當(dāng)OA是菱形AP₁OQ₁的對(duì)角線時(shí)，易知P₁（3，3），
∵P₁與Q₁關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴Q₁（3，-3）．
②當(dāng)OA為菱形AP₂Q₂O的邊時(shí)，∵OA=AP₂=P₂Q₂=6，
∴P2（6-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{3}$），Q₂（-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$），
③當(dāng)OA為菱形AP₃Q₃O的邊時(shí)，同理可得Q₃（3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)為（3，-3）或（-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$）或（3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，掌握利用方程組求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?jí)狠S題．