Question

10．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，AD與BC相交于點(diǎn)M，且BM=MC，過點(diǎn)D作BC的平行線，分別與AB、AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F．
（1）求證：EF與⊙O相切；
（2）若BC=2$\sqrt{15}$，MD=$\sqrt{5}$，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理證得AD⊥BC，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)證得AD⊥EF，即可證得結(jié)論；
（2）連接OB，根據(jù)勾股定理求得OB和OM，由BC∥EF，證得△ABC∽△AEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得EF的長(zhǎng)，解直角三角形ACM求得∠CAM=30°，進(jìn)而求得CN的長(zhǎng)和∠FCN=∠CAM=30°，解直角三角形求得NF，得出EN，然后根據(jù)勾股定理即可求得．

解答 （1）證明：∵AD是⊙O的直徑，AD與BC相交于點(diǎn)M，且BM=MC，
∴AD⊥BC，
∵EF∥BC，
∴AD⊥EF，
∴EF與⊙O相切；
（2）解：連接OB，
在△OBM中，BM²+OM²=OB，即（$\sqrt{15}$）+（OB-$\sqrt{5}$）=OB²，OB=2$\sqrt{5}$ 
∴OM=MD=$\sqrt{5}$，
∵BC∥EF，
∴△ABC∽△AEF
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{BC}{EF}$，
∴EF=$\frac{AD•BC}{AM}$=$\frac{4\sqrt{5}×2\sqrt{15}}{3\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{15}}{3}$，
∵tan∠CAM=$\frac{MC}{AM}$=$\frac{\sqrt{15}}{3\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CAM=30°，
作CN⊥EF，
∵AD⊥EF，
∴CN∥AD，
∴∠FCN=∠CAM=30°，
∵BC∥EF，
∴四邊形MDNC是矩形，
∴CN=MD=$\sqrt{5}$，
∴NF=CN•tan30°=$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴EN=EF-NF=$\frac{8\sqrt{15}}{3}$-$\frac{\sqrt{15}}{3}$=$\frac{7\sqrt{15}}{3}$，
∴EC=$\sqrt{E{N}^{2}+C{N}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{195}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，垂徑定理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，作出輔助線根據(jù)直角三角形是解題的關(guān)鍵．