Question

11．在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，對角線AC平分∠BAD．
（1）如圖1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，試探究邊AD、AB與對角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．
（2）如圖2，若將（1）中的條件“∠B=90°”去掉，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由．
（3）如圖3，若∠DAB=90°，探究邊AD、AB與對角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：AC=AD+AB，只要證明AD=$\frac{1}{2}$AC，AB=$\frac{1}{2}$AC即可解決問題；
（2）（1）中的結(jié)論成立．以C為頂點(diǎn)，AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊交AB延長線于點(diǎn)E，只要證明△DAC≌△BEC即可解決問題；
（3）結(jié)論：$AD+AB=\sqrt{2}AC$．過點(diǎn)C作CE⊥AC交AB的延長線于點(diǎn)E，只要證明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解決問題；

解答 解：（1）AC=AD+AB．
理由如下：如圖1中，

在四邊形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，
∴∠D=90°，
∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
∵∠B=90°，
∴$AB=\frac{1}{2}AC$，同理$AD=\frac{1}{2}AC$．
∴AC=AD+AB．

（2）（1）中的結(jié)論成立，理由如下：以C為頂點(diǎn)，AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊交AB延長線于點(diǎn)E，

∵∠BAC=60°，
∴△AEC為等邊三角形，
∴AC=AE=CE，
∵∠D+∠B=180°，∠DAB=120°，
∴∠DCB=60°，
∴∠DCA=∠BCE，
∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠D=∠CBE，∵CA=CB，
∴△DAC≌△BEC，
∴AD=BE，
∴AC=AD+AB．

（3）結(jié)論：$AD+AB=\sqrt{2}AC$．理由如下：
過點(diǎn)C作CE⊥AC交AB的延長線于點(diǎn)E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，

∴DCB=90°，
∵∠ACE=90°，
∴∠DCA=∠BCE，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB=45°，
∴∠E=45°．
∴AC=CE．
又∵∠D+∠B=180°，∠D=∠CBE，
∴△CDA≌△CBE，
∴AD=BE，
∴AD+AB=AE．
在Rt△ACE中，∠CAB=45°，
∴$AE=\frac{AC}{{cos{{45}°}}}=\sqrt{2}AC$，
∴$AD+AB=\sqrt{2}AC$．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．