Question

如圖，邊長(zhǎng)為6cm的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別從點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向移動(dòng)，點(diǎn)E、G的速度均為1cm/s，點(diǎn)F的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G（即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，△EFG的面積是多少？
（2）當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)，若△EFG的面積為8cm²，求對(duì)應(yīng)的t的值；
（3）是否存在合適的t，使得△EFG為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）可用割補(bǔ)法表示出F在BC上時(shí)△EFG的面積（用t的代數(shù)式表示），然后把t=1代入即可解決問題．
（2）根據(jù)條件建立關(guān)于t的方程，解這個(gè)方程就可解決問題．
（3）由于點(diǎn)F在BC和CD上運(yùn)動(dòng)，故需分兩種情況討論．當(dāng)點(diǎn)F在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于等腰△EFG的腰不確定，需分三種情況討論；當(dāng)點(diǎn)F在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，易證FG＜EF且FG＜EG，因而等腰△EFG中只有EF=EG這種可能，過點(diǎn)G作GH⊥AB于H，過點(diǎn)F作FP⊥AB于P，根據(jù)勾股定理可得到EH=EP，由此得到關(guān)于t的方程，解這個(gè)方程就可解決問題．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)，則有0＜t≤3．
由題意知：AE=t，BE=AB-AE=6-t，
BF=2t，CF=BC-BF=6-2t，CG=t，DG=DC-CG=6-t，
∴S_△EFG=S_梯形BCGE-S_△BEF-S_△CFG
=

1

2

（CG+BE）•BC-

1

2

BE•BF-

1

2

CF•CG
=

1

2

（t+6-t）•6-

1

2

（6-t）•2t-

1

2

（6-2t）•t
=2t²-9t+18．
當(dāng)t=1時(shí)，S_△EFG=2×1²-9×1+18=11．
∴當(dāng)t等于1秒時(shí)，△EFG的面積是11cm²．

（2）當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)，如圖1，
則有0＜t≤3．      
若△EFG的面積為8cm²，
則有2t²-9t+18=8，
整理得：2t²-9t+10=0，
解得：t₁=2，t₂=2.5，均適合題意，
∴符合要求的t的值為2秒或2.5秒．

（3）①若點(diǎn)F在BC上，過點(diǎn)E作EH⊥DC于H，如圖2（1）所示，
則有0＜t≤3，∠EHC=90°．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠EHC=∠B=∠C=90°，
∴四邊形BCHE是矩形，
∴EH=BC=6，CH=BE=6-t，
∴GH=CH-CG=6-t-t=6-2t．
在Rt△EHG中，
則有EG²=EH²+GH²=36+（6-2t）²=4t²-24t+72．
同理：在Rt△EBF中，則有EF²=5t²-12t+36；
在Rt△FCG中，則有FG²=5t²-24t+36．
Ⅰ．若EF=FG，
則有5t²-12t+36=5t²-24t+36，
解得：t=0（舍去）．
Ⅱ．若EF=EG，
則有5t²-12t+36=4t²-24t+72，
解得：t₁=-6

2

-6（舍去），t₂=6

2

-6．
Ⅲ．若FG=EG，
則有5t²-24t+36=4t²-24t+72，
解得：t₁=-6，t₂=6．
∵0＜t≤3，
∴t≠±6，故舍去．
②若點(diǎn)F在DC上，
則有3＜t≤6．
過點(diǎn)G作GH⊥AB于H，過點(diǎn)F作FP⊥AB于P，如圖2（2）所示，
則有AD=GH=PF=DC．
∵GF＜DC，GH≤EG，PF≤EF，
∴GF＜GE，GF＜EF．
若△EFG為等腰三角形，則有EG=EF．
根據(jù)勾股定理可得EH=EP，
∵EH=AE-AH=AE-DG=AE-（DC-CG）=t-（6-t）=2t-6，
EP=BE-BP=BE-FC=6-t-（2t-6）=12-3t，
∴2t-6=12-3t，
解得：t=3.6．
綜上所述：當(dāng)t為（6

2

-6）秒或3.6秒時(shí)，△EFG為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用割補(bǔ)法是解決第（1）和第（2）小題的關(guān)鍵，運(yùn)用分類討論的思想則是解決第（3）小題的關(guān)鍵．