Question

2．如圖，BD、CE是△ABC的兩條高，AM是∠BAC的平分線，交BC于M，交DE于N，求證：
（1）△ABD∽△ACE； 
（2）$\frac{AM}{AN}$=$\frac{BC}{DE}$．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，判定△ABD∽△ACE； 
（2）先相似三角形的性質(zhì)，得出$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，再根據(jù)∠DAE=∠BAC，判定△ADE∽△ABC，進(jìn)而得到$\frac{BC}{DE}$=$\frac{AC}{AE}$，再根據(jù)∠CAM=∠EAN，判定△ACM∽△AEN，得到$\frac{AC}{AE}$=$\frac{AM}{AN}$，最后等量代換即可得到$\frac{AM}{AN}$=$\frac{BC}{DE}$．

解答 證明：（1）∵BD、CE是△ABC的兩條高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ABD∽△ACE；

（2）∵△ABD∽△ACE，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AB}{AC}$，即$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{BC}{DE}$=$\frac{AC}{AE}$，且∠ACB=∠AED，
∵AM是∠BAC的平分線，
∴∠CAM=∠EAN，
∴△ACM∽△AEN，
∴$\frac{AC}{AE}$=$\frac{AM}{AN}$，
∴$\frac{AM}{AN}$=$\frac{BC}{DE}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．